Специальность ВАК:
01.01.01 (вещественный, комплексный и функциональный анализ)
Дата рождения:
31.03.1938
Ключевые слова: выпуклый анализ и экстремальные задачи в функциональных пространствах,
многозначный анализ,
измеримые селекторы многозначных отображений,
задача Монжа–Канторовича,
методы функционального анализа в математической экономике.
Основные темы научной работы:
В двух статьях (одна из них в соавторстве с Д. А. Райковым) получено обобщение на равномерные пространства понятия $В$–полноты и теорем Банаха о замкнутом графике и открытом отображении. На алгебраическом тензорном произведении банаховой решетки $Е$ и банахова пространства $X$ введена кросснорма, пополнение по которой в случае многих конкретных решеток функций или последовательностей оказывается пространством $E(X)$ "таких же" вектор-функций или последовательностей со значениями в $X$. Описано сопряженное пространство, изучены свойства введенного тензорного произведения и двух связанных с ним классов линейных операторов, действующих между банаховыми пространствами и банаховыми решетками. Получены теоремы о разложении Лебега линейных функционалов на пространстве $L^\infty(X)$ (обобщение теоремы Иосиды–Хьюита) и на более общих пространствах измеримых вектор-функций. Получена окончательная форма теоремы об очистке, утверждающая, что в конечномерной выпуклой экстремальной задаче с большим или даже бесконечным числом ограничений можно отбросить все ограничения кроме некоторых $n$ из них, где $n$ — размерность пространства, и при этом оптимальное значение новой, "очищенной", задачи не уменьшится по сравнению с исходной. Отсюда следуют теоремы об очистке для субдифференциала максимума семейства выпуклых функций, а также для минимаксных задач и задач наилучшего приближения. Построено субдифференциальное исчисление выпуклых функционалов на пространствах измеримых вектор-функций со значениями в произвольном банаховом пространстве, и с его помощью дано окончательное решение традиционных задач выпуклого анализа о вычислении субдифференциалов выпуклых функций интеграла и максимума, а также связанной с ними задачи о субдифференциале сложной функции. Обнаружена связь между справедливостью регулярных интегральных представлений субдифференциалов в массовой постановке и существованием специальных лифтингов $L^\infty$, позволяющая трактовать некоторые вопросы теории меры (сильный лифтинг, дезинтегрирование и дифференцирование мер) как фрагмент выпуклого анализа в функциональных пространствах. Этим вопросам посвящен цикл статей и монография "Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике". М.: Наука, 1985, 352 с. Доказаны теоремы измеримого выбора для многозначных отображений со значениями в несепарабельных и/или неметризуемых пространствах. Ряд статей (одна из них в соавторстве с А. А. Милютиным) посвящен задаче Монжа–Канторовича (теория двойственности; задачи с гладкими функциями стоимости; существование решений Монжа) и ее применению в математической экономике. Построена теория двойственности для двух вариантов задачи: с фиксированными маргинальными мерами и с фиксированной разностью маргинальных мер. Полностью охарактеризованы функции стоимости, для которых оптимальные значения исходной и двойственной задач совпадают. Одна из формулировок для компактного пространства и задачи с фиксированной разностью маргинальных мер: в классе функций стоимости $c(x,y)$, удовлетворяющих неравенству треугольника, равенство оптимальных значений в массовой постановке равносильно полунепрерывности снизу $c$. В задаче с фиксированными маргинальными мерами, одна из которых абсолютно непрерывна по $n$–мерной мере Лебега, для трех классов функций стоимости получены теоремы существования и единственности оптимальных решений, являющихся решениями Монжа. В случае гладкой функции стоимости даны условия оптимальности гладких решений Монжа. Для полуконических выпуклых множеств и полуоднородных выпуклых функций предложена новая схема двойственности в выпуклом анализе.
Основные публикации:
Аркин В. И., Левин В. Л. Выпуклость значений векторных интегралов, теоремы измеримого выбора и вариационные задачи // УМН, 1972, 27(3), 21–77.
Левин В. Л. Выпуклые интегральные функционалы и теория лифтинга // УМН, 1975, 30(2), 115–178.
Левин В. Л., Милютин А. А. Задача о перемещении масс с разрывной функцией стоимости и массовая постановка проблемы двойственности выпуклых экстремальных задач // УМН, 1979, 34(3), 3–68.
Левин В. Л. Полуконическая двойственность в выпуклом анализе // Труды Московского матем. общ-ва, 2000, 61, 210–253.
Levin V. L. The Monge–Kantorovich problems and stochastic preference relations // Adv. Math. Economics, 2001, 3, 97–124.
