\documentclass[12pt]{amsart}

\usepackage[cp1251]{inputenc} %  под windows, или соответствующая кодировка для других операционных систем
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath,amsfonts,mathrsfs}
\pagestyle{plain}

%Далее стандартные команды для теорем, определений, и т. д.

\newtheorem{theorem}[equation]{Теорема}
\newtheorem{proposition}[equation]{Предложение}
\newtheorem{lemma}[equation]{Лемма}
\newtheorem{corollary}[equation]{Следствие}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}[equation]{Пример}
\newtheorem{definition}[equation]{Определение}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}[equation]{Замечание}

\sloppy

\begin{document}
\begin{center}
{\large\bf НЕРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФАКТОРЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ}\\
{\bf А.\,С.\,Трепалин\footnote{Работа выполнена при поддержке Лаборатории
алгебраической геометрии  НИУ ВШЭ} (Москва)}\\
{\bf  $\rm \bf trepalin@mccme.ru$}

\end{center}

\begin{definition}
Поверхность $X$, определённая над полем $\Bbbk$, называется
\textit{$\Bbbk$-рациональной}, если $X$ бирационально эквивалентна
$\mathbb{P}^2_{\Bbbk}$.

\end{definition}

Для определения является ли поверхность $\Bbbk$-рациональной или нет, важна
следующая теорема:

\begin{theorem}[{\cite[Глава 4]{Isk96}}]
Минимальная рациональная поверхность $X$, определённая над совершенным полем
$\Bbbk$, является \mbox{$\Bbbk$-рациональной} тогда и только тогда, когда выполнены
следующие два условия:

(i) $X(\Bbbk) \ne \varnothing$;

(ii) $K_X^2 \geq 5$.
 \end{theorem}

Мы обобщим предыдущую теорему на случай факторов поверхностей.

\begin{theorem}
Если $X$~--- поверхность дель Пеццо степени $d$, $X(\Bbbk)$~--- всюду плотно, $G
\subset \operatorname{Aut}(X)$, то $X / G$~--- \mbox{$\Bbbk$-рациональна} для всех
случаев, кроме следующих:
\begin{enumerate}
\item $d = 4$ $G \cong \{1\}$, $C_2$, $C_4$, $C_2^2$;
\item $d = 3$, $G \cong \{1\}$, $C_3$;
\item $d = 2$, $G \cong \{1\}$ $C_2$, $C_3$, $C_2^2$, $C_4$, $S_3$, $D_4$, $Q_8$;
\item $d = 1$, $G \cong \{1\}$, $C_2$, $C_3$, $C_6$,
где $C_n$~--- циклическая группа порядка $n$, $D_n$~--- диэдральная группа порядка
$2n$, $S_n$~--- симметрическая группа, $Q_8$~--- группа кватернионов.
\end{enumerate}
\end{theorem}

Доказанный результат может быть существенно использован для исследования группы
Кремоны плоскости $\mathrm{Cr}(2, \Bbbk) = \mathrm{Bir}(\mathbb{P}^2_{\Bbbk})$.

\begin{thebibliography}{XX}

\bibitem[Isk96]{Isk96}
V.\,A.\,Iskovskikh,
\newblock Factorization of birational mappings of rational surfaces from the point
of view of Mori theory,
\newblock Uspekhi Mat. Nauk, 1996, 51, 3--72, (in Russian); translation in Russian
Math. Surveys, 1996, 51, 585--652

\end{thebibliography}

\end{document}