Оптимальное управление
О регуляризации принципа Лагранжа в нелинейной задаче оптимального управления системой Гурса–Дарбу с поточечным фазовым ограничением-равенством
М. И. Сумин ТГУ им. Г.Р. Державина, Тамбов, Россия
Аннотация:
На основе сопряжения методов оптимального управления, нелинейного анализа и теории некорректных задач рассматривается регуляризация принципа Лагранжа в недифференциальной форме, в регулярном и нерегулярном вариантах, в нелинейной (невыпуклой) задаче оптимизации системы Гурса–Дарбу общего вида с поточечным фазовым ограничением-равенством. Это ограничение понимается как равенство в гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом функций и содержит аддитивно входящий в него параметр, что обеспечивает возможность применения для исследования задачи “нелинейной версии” метода возмущений. Основное предназначение обоих вариантов регуляризованного принципа Лагранжа – устойчивое генерирование обобщенных минимизирующих последовательностей в рассматриваемой задаче, существование решения которой априори не предполагается. Их можно трактовать как обобщенные минимизирующие последовательности – образующие (регуляризирующие) операторы, ставящие в соответствие каждому набору исходных данных задачи субминималь (минималь) ее отвечающего этому набору регулярного модифицированного функционала Лагранжа, двойственная переменная в котором генерируется в соответствии с указанными в этих вариантах процедурами. Конструкция модифицированного функционала Лагранжа полностью определяется видом “нелинейных” субдифференциалов полунепрерывной снизу и, вообще говоря, невыпуклой функции значений как функции параметра задачи. В качестве последних используются хорошо известные в нелинейном анализе проксимальный субградиент и субдифференциал Фреше. В частном случае, когда задача регулярна, в смысле существования в ней обобщенного вектора Куна–Таккера, а ее исходные данные (интегранд функционала качества и правая часть управляемой системы) аффинным образом зависят от управления, предельный переход в соотношениях регуляризованного принципа Лагранжа ведет к классическим условиям оптимальности в форме недифференциальной теоремы Куна–Таккера и принципа максимума Понтрягина.
Ключевые слова:
нелинейная задача оптимального управления, векторное гиперболическое уравнение, задача Гурса–Дарбу, поточечное фазовое ограничение-равенство, регуляризация, метод возмущений, функция значений, проксимальный субградиент, субдифференциал фреше, модифицированная функция Лагранжа, обобщенная минимизирующая последовательность, регуляризирующий алгоритм, принцип Лагранжа в недифференциальной форме, принцип максимума Понтрягина.
УДК:
517.9
Поступила в редакцию: 17.03.2025
Исправленный вариант: 21.07.2025
Принята в печать: 22.08.2025
DOI:
10.7868/S3034533225110052
