Эта публикация цитируется в
1 статье
Уравнения в частных производных
Нелинейный метод угловых пограничных функций в случае влияния точки перегиба
И. В. Денисов,
А. И. Денисов Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, Тула, Россия
Аннотация:
В прямоугольнике $\Omega = \{(x, t) | 0 < x < 1, 0 < t < T\}$ рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения
\begin{gather}
\varepsilon^2\left(a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial u}{\partial t}\right)=F(u,x,t,\varepsilon),\quad (x,t)\in \Omega,
\notag\\
u(x,0,\varepsilon)=\varphi(x),\quad 0\le x\le 1,
\notag\\
u(0,t,\varepsilon)
=\psi_1(t), u(1,t,\varepsilon)=\psi_2(t),\quad 0\le t\le T.
\notag
\end{gather}
.
Предполагается, что в угловых точках
$(k, 0)$ прямоугольника
$\Omega$, где
$k = 0$ или
$1$, функция
$F(u) = F(u, k, 0, 0)$ имеет вид
$F(u)=u^3-u^3_0$, где
$u_0=u_0(k)<0$. Для построения асимптотики решения задачи используется нелинейный метод угловых пограничных функций. Ранее был рассмотрен случай, когда граничное значение
$\varphi$ в угловых точках отделено от точки перегиба
$u = 0$ условием
$u_0(k) < \varphi(k)<\frac{u_0(k)}{2}<0$, при котором на роль барьерных подошли функции “простейшего” вида, пригодные сразу во всей рассматриваемой области. В настоящей работе рассматривается случай
$\frac{u_0(k)}{2}< \varphi(k) < 0$, при котором область приходится разбивать на части, в каждой подобласти строить свои барьерные функции с учетом их непрерывной стыковки на общих границах подобластей, а затем проводить сглаживание кусочно-непрерывных нижних и верхних решений. В результате получается полное асимптотическое разложение решения при
$\varepsilon\to0$ и обосновывается его равномерность в замкнутом прямоугольнике.
Библ. 15.
Ключевые слова:
пограничный слой, асимптотическое приближение, сингулярно возмущенное уравнение.
УДК:
517.956.4 Поступила в редакцию: 10.03.2024
Исправленный вариант: 10.03.2024
Принята в печать: 26.09.2024
DOI:
10.31857/S0044466925010047
Список цитирования