Целые функции экспоненциального типа в задаче приближения на дизъюнктных отрезках

О. В. Сильванович^a, Н. А. Широков<sup>b

a</sup> Санкт-Петербургский горный университет, В.О., 21-я линия, д.2, Санкт-Петербург
^b Санкт-Петербургское отделение Математического Института им. В.А. Стеклова, наб. р. Фонтанки, д. 27, Санкт-Петербург

Аннотация: Пусть $a_k<b_k<a_{k+1}$, $k\in\mathbb{Z}$, $I_k=(a_k, b_k)$, $J_k=[b_k, a_{k+1}].$ Предположим, что $|I_k|\asymp |J_k|,\ a_k \xrightarrow [k \to +\infty] \ \infty,\ a_k \xrightarrow [k \to -\infty] \ -\infty$ и при $|k|\rightarrow \infty$ выполнено $|J_k|\asymp \frac{1}{|a_k|^\alpha},\ \alpha>0.$ На расположение промежутков $J_k$ наложим некоторое условие регулярности, $ E=\bigcup\limits_{k\in \mathbb{Z}} J_k$. На множестве $E$ задана ограниченная функция $f$ из $s$-класса Гёльдера, $0<s<1$. Пусть $l_k=\frac{1}{2}|J_k|$, $\xi_k =\frac{1}{2}(b_k+a_{k+1})$, $k\in\mathbb{Z}$. При $x\in J_k$ и $0<t\le 1$ положим
\begin{equation}\notag \rho_t(x)=\begin{cases} ( \sqrt{l_k^2-(x-\xi_k)^2}+t)\cdot\dfrac{t}{|I_k|}, 0<t<\frac{1}{2}, t, \frac{1}{2}\leq t\le 1. \end{cases} \end{equation}

Доказана следующая теорема.
Теорема. Существует постоянная $c_f$ такая, что для любого $\sigma\geq 1$ найдется целая функция $F_{\sigma}$, удовлетворяющая условиям
\begin{equation}\notag |F_{\sigma}(x)|\leq c_{\sigma}e^{2\sigma|\Im z|},\ z\in \mathbb{C}, \end{equation}
и
\begin{equation}\notag |f(x)-F_{\sigma}(x)|\leq c_f\rho^s_{\frac{1}{\sigma}}(x),\ x\in E. \end{equation}

Библ.– 7 назв.

Ключевые слова: целые функции экспоненциального типа, аппроксимация, классы Гёльдера.

УДК: 517.537

Поступило: 04.08.2025