Мультипликативная полиномиальная аппроксимация

А. Н. Медведев^a, Н. А. Широков<sup>b

a</sup> Санкт-Петербургский электротехнический университет, 197376, ул. проф. Попова, д.5, Санкт-Петербург, Россия
^b С.-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, 191023, наб. р. Фонтанки, 27, Санкт-Петербург, Россия

Аннотация: Пусть $\mathcal{D}$ – ограниченная область на комплексной плоскости $\mathbb{C} $, граница которой достаточно гладкая, а именно, угол наклона касательной к границе относительно оси $x$ удовлетворяет условию Гёльдера с каким-то показателем относительно длины дуги границы. Обозначим через $\Lambda^\alpha(\overline{\mathcal{D}})$, $0<\alpha<1$, класс функций, аналитичных в $\mathcal{D}$ и удовлетворяющих в $\overline{\mathcal{D}}$ условию Гёльдера порядка $\alpha$.
Для функций $f\in\Lambda^\alpha(\overline{\mathcal{D}})$ справедлива факторизация на внутренний и внешний сомножители, $f=FI$, где внешняя функция $F$ определена через значения $|f|$ на границе $\partial \mathcal{D}$, а для внутренней функции $I$ справедливо соотношение $|I(z)|=1$ для п.в. $z\in\partial\mathcal{D}$.
Доказана следующая теорема.
Теорема Пусть $f\in\Lambda^\alpha(\overline{\mathcal{D}})$, $f=F\cdot I$, где $I$ — внутренняя, а $F$ — внешняя функции в $\mathcal{D}$. Для всякого $n\in\mathbb{N}$ существуют полиномы $P_n$, $q_n$ степени не выше $n$ со следующими свойствами.
Существуют постоянные $c_{f,1}$ и $c_{f,2}$ такие, что при $z\in\partial\mathcal{D}$ справедливы соотношения
$$ |f(z)-P_n(z)q_n(z)|\leq c_{f,1} \cdot n^{-\alpha},~ |F(z)-P_n(z)|\leq c_{f,2}\cdot n^{-\alpha}, $$
существует постоянная $c_{\mathcal{D}}$ такая, что для всякого $z\in\mathcal{D}$ выполняется оценка
$$ |q_n(z)|\leq c_{\mathcal{D}}, $$
и при $z\in\mathcal{D}$ имеет выполняется соотношение
$$ q_n(z) \xrightarrow[n \to \infty]{} I(z). $$
Библ.– 5 назв.

Ключевые слова: полиномы, аппроксимация, классы Гёльдера, области с гладкой границей.

УДК: 517.537

Поступило: 20.06.2025