Обобщение одной теоремы И. И. Привалова

А. С. Колпаков^a, Н. А. Широков<sup>b

a</sup> Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ''ЛЭТИ'', Санкт-Петербург
^b Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук, Санкт-Петербург

Аннотация: Пусть $E\subset \mathbb{C}-$ компакт. Множество $E$ называется множеством Альфорса–Давида размерности $\theta$, $0<\theta<2$, если для любой точки $z\in E$ и круга $\overline{B}_r(z)\overset{\rm def}{=}\{\zeta:\ \left|\zeta-z\right|\le r\}$ при $0<r<\mathrm{diam} E$ с некоторыми постоянными $C_1>0,$ $C_2>0,$ не зависящими от $z$ и $r$, выполнены соотношения
\begin{equation} C_1r^{\theta}\leq \Lambda_{\theta}(E\cap\overline{B}_r(z))\leq C_2r^{\theta}.\tag{1} \end{equation}
В соотношении (1) $\Lambda_{\theta}(S)$ – $\theta$-мера Хаусдорфа множества $S$. В работе доказано следующее утверждение. Пусть $\Gamma-$ замкнутая жорданова кривая, являющаяся множеством Альфорса–Давида размерности $1+\alpha,$ $0<\alpha<1,$ $\alpha<\beta<1,$ $D-$ внутренняя область, ограниченная кривой $\Gamma,$ $G-$ внешняя область. Через $H^{\beta}(\Gamma)$ обозначим пространство комплекснозначных функций, определенных на $\Gamma$ и удовлетворяющих условию Гёльдера порядка $\beta,$ $H^{\beta}(\overline{D})-$ пространство функций, аналитических в $D$ и удовлетворяющих в $\overline{D}$ условию Гёльдера порядка $\beta$, $H^{\beta}(\overline{G})-$ пространство функций, аналитических в $G$, обращающихся в ноль на бесконечности и удовлетворяющих в $\overline{G}$ условию Гёльдера порядка $\beta$. Доказано следующее утверждение.
Теорема. Пусть $f\in H^{\beta}(\Gamma).$ Тогда существуют функции $g\in H^{\beta}(\overline{D})$ и $h \in H^{\beta}(\overline{G})$ такие, что при $z\in\Gamma$ справедливо равенство
$$f(z)=g(z)+h(z).$$

Библ.– 5 назв.

Ключевые слова: аналитические функции, классы Гёльдера, условие Альфорса–Давида.

УДК: 517.544

Поступило: 30.11.2024