Геометрические характеристики случайных счётных зонотопов

М. А. Кукушкин

С.-Петербургский государственный университет, Университетская наб., 7-9 199034, С.-Петербург, Россия

Аннотация: В данной заметке исследуются случайные счетные зонотопы в $\mathbb{R}^d$, т.е. объекты вида $Z_\alpha = \bigoplus_{k=1}^{\infty}\Gamma_k^{-\frac{1}{\alpha}}[0,\varepsilon_k]$, где $0 < \alpha < 1$, $\Gamma_k=\sum_{j=1}^{k}\tau_j$, $\{\tau_j, j\ge 1\}$ суть н.о.р. случайные величины с общим стандартным экспоненциальным распределением, а $\{ \varepsilon_j, j\ge 1\}$ суть н.о.р. случайные векторы c общим распределением $\sigma$, сосредоточенным на единичной сфере $S^{d-1}\subset \mathbb{R}^d$. Последовательности $\{\tau_j\}$ и $\{\varepsilon_j\}$ предполагаются независимыми. Граница центрально-симметричного тела такого вида, $\partial Z_\alpha$, имеет нетривиальную канторовскую структуру. Интерес представляет оценка размерности Хаусдорфа множества ее экстремальных точек, $ {\rm dim}_H({\rm ext}{Z_\alpha})$. В размерности $d=2$ верхняя и нижняя оценки были получены в работе Давыдова и Паулаускаса (2019). Однако уже при $d=3$ и в бóльших размерностях вопрос не только о нижней, но и о верхней оценке оставался без ответа. В статье формулируется и доказывается новый результат о верхней оценке в произвольной размерности. А именно, утверждается, что для любых $d \ge 2$ и $0 < \alpha < 1$ выполнено $\dim_H({\rm ext}{Z_\alpha}) \le \alpha + d - 2$ почти наверное. Библ. – 11 назв.

Ключевые слова: устойчивые случайные величины, зонотопы, случайные счётные зонотопы, абстрактные конусы, размерность Хаусдорфа, экстремальные точки.

УДК: 519.2

Поступило: 14.10.2025