О числе точек пересечения случайных гиперплоскостей внутри выпуклого тела

А. С. Болотин<sup>ab

a</sup> ПОМИ РАН, С.-Петербург, Россия
^b Международный математический институт им. Леонарда Эйлера, С.-Петербург, Россия

Аннотация: Рассматривается задача о распределении числа точек пересечения $n$ случайных гиперплоскостей внутри выпуклого тела $D\subset\mathbb{R}^d$. Предлагается новый подход к изучению вероятностей $p_{nk}^{(d)}$ того, что ровно $k$ из ${n\choose d}$ возможных точек пересечения $d$-мерных наборов гиперплоскостей находятся внутри $D$. Метод основан на выражении искомых вероятностей через математические ожидания произведений индикаторных функций и классических тождествах для чисел Стирлинга второго рода. Получена общая формула для $p_{nk}^{(d)}$ в терминах этих ожиданий. Для случая $n=d+1$ найдены явные выражения вероятностей через новые геометрические инварианты выпуклого тела, обобщающие классические результаты для плоского случая $(d=2)$ на произвольную размерность. Библ. – 5 назв.

Ключевые слова: случайные гиперплоскости, выпуклое тело, мера Крофтона, геометрическая вероятность, числа Стирлинга второго рода, точки пересечения, интегрально-геометрические инварианты, интегральная геометрия.

УДК: 519.2

Поступило: 07.11.2025