Дискретный спектр и собственные функции оператора Шрёдингера на плоскости с сингулярным $\delta$-потенциалом специального вида

М. А. Лялинов, Е. Е. Матвеенко

Санкт-Петербургский государственный университет, Ульяновская ул. 1-1, Петродворец, Санкт-Петербург 198504, Россия

Аннотация: Изучается дискретный спектр и собственные функции дискретного спектра оператора Шрёдингера на плоскости с сингулярным $\delta$-потенциалом с носителем, сосредоточенным на трёх лучах. Оператор такого типа встречается в задачах квантового рассеяния трёх одномерных частиц с парным точечным взаимодействием и в задачах дифракции в клиновидных и конусовидных областях. Задача вычисления собственной функции дискретного спектра оператора имеет классическую постановку. С помощью интегрального представления Конторовича–Лебедева задача сводится к изучению системы однородных функционально-разностных уравнений второго порядка со спектральным параметром, изучены свойства решений такой системы. В зависимости от значений спектрального параметра описаны нетривиальные решения системы функционально-разностных уравнений. Изучены собственные решения системы посредством редукции к интегральному уравнению с интегральным оператором, который является компактным возмущением оператора Мёлера. Получено достаточное условие непустоты дискретного спектра. Библ. – 6 назв.

Ключевые слова: собственные функции, дискретный спектр, сингулярный потенциал, функционально-разностные уравнения.

УДК: 517.9

Поступило: 30.09.2025