Математическое моделирование

О постановке граничных условий при решении задач гидродинамики в переменных завихренность – функция тока

И. И. Потапов

Вычислительный центр ДВО РАН, г. Хабаровск, Российская Федерация

Аннотация: При решении задачи Навье – Стокса в переменных завихренность – функция тока вычислитель всегда сталкивается с проблемой, заключающейся в переопределенности граничных условий для функции тока и их отсутствием для функции завихренности. Классический подход в решении этой проблемы заключается в постройке на границе области дополнительного дифференциального оператора для искомых функций, из решения которого можно определить промежуточные граничные условия для функции завихренности. Несмотря на достигнутые значимые успехи в реализации данного подхода, он имеет два серьезных недостатка. Во-первых, он требует построения дифференциального оператора, нормального к границе в каждом граничном узле расчетной области, что существенно усложняет алгоритмы для задач с криволинейными границами. Во-вторых, он порождает дополнительный итерационный процесс даже при решении линейной задачи Стокса.
В работе предлагается новый алгоритм, позволяющий определять граничные условия в методе конечных элементов при решении задач гидродинамики в переменных завихренность – функция тока. В предлагаемом алгоритме граничные значения для завихренности на произвольном невырожденном контуре границы расчетной области определяются из уравнения для функций тока, записанных в слабой интегральной форме, учитывающей условия Неймана для функции тока на границе области. Алгоритм не требует построения на контуре области дополнительных разностных операторов для получения граничных условий задачи и позволяет при использовании векторной формулировки задачи решать задачу Стокса за одну итерацию. При решении задач Навье – Стокса в векторной формулировке метод позволяет получить на каждом шаге по времени/нелинейности согласованные поля завихренности и функции тока, что позволяет контролировать процессы сходимости решаемой задачи. Стабильность работы предложенного алгоритма подтверждается проведенными численными экспериментами.

Ключевые слова: вынужденная конвекция, слабая формулировка задачи, граничные условия, функция тока – завихренность, метод конечных элементов.

УДК: 519.63

MSC: 65М60

Поступила в редакцию: 02.06.2025

DOI: 10.14529/mmp250303