Краткие сообщения

Отражение регулярных функций

А. В. Павлов

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики — Российский технологический университет

Аннотация: В статье доказано, что функция, совпадающая с отраженной относительно некоторой точки функцией, может быть отражением исходной функции относительно некоторой другой точки. Двойное отражение приводит к периодичности произвольной аналитической функции в достаточно общих условиях. Приведен пример, в котором четная функция становится периодической, как результат сдвигов и отражений оносительно двух точек.
Аналогичный результат получается, если рассмотреть поле сдвигов $F(p)$, у которого каждое значение в точке с действительной частью A является результатом сдвига вправо значений функции $f(p)$ на $2A$ в той же точке (мы сдвинули значения прямой линии с действительной частью $-A$). Можно использовать совпадение всех значений такого поля на прямых линиях с действительными частями A+B со значениями результата двух сдвигов на величины $2A$ и $2B$ функций $f(p)$ и $f(p-2A)$ соответственно. Если поле $F(p)$ сдвинуть в обратную сторону на те же значения, то мы получим исходную регулярную в левой полуплоскости функцию. Результат обратного сдвига можно рассматривать как результат двух сдвигов (первый относительно точки $(0,0)$, второй относительно точки $(-A,0)$ функции $f(p+2A))$. Результаты сдвигов налево функции $f(p)$ образуют новое поле $G(p)$, которое совпадает с исходной регулярной функцией $f(p)$. Данный факт эквивалентен периодичности $f(p)$.
Значения поля $F(p)$ сопряжены во всех точках правой полуплоскости значениям исходной регулярной функции $f(p)$, если она действительна на всей мнимой оси. Данный факт тоже приводит к совпадению функции $f(p)$ с константой в случае регулярности функции в левой полуплоскости. Поле $F(p)$ совпадает с полем сдвигов функции $f(p)$.

Ключевые слова: аналитическая функция, двойное отражение, периодичность, четные функции, сдвинутые функции, поле комплексных значений.

УДК: 517.442
ББК: 511

Поступила в редакцию: 12.05.2021

DOI: 10.15688/mpcm.jvolsu.2021.4.6