МАТЕМАТИКА

О специальной норме и полноте пространств непрерывных функций многих переменных с ограничениями типа Липшица–Гёльдера

В. И. Родионов

Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1

Аннотация: Пусть $X_0\subseteq\mathbb R^n$ — непустое открытое множество и $X_0\subseteq X\subseteq\overline X_0$. Допускается, что множество $X_0$ не ограничено и/или имеет счетное число компонент связности. В работе исследуются некоторые пространства функций $f\colon X\to\mathbb R$, наделенные специальной нормой $\|\cdot\|$. В определении нормы фигурирует $n$-мерный вектор $(\Delta x)^{-1}\Delta f$, являющийся аналогом отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$, порождающего понятие производной функции одной переменной. Вектор $(\Delta x)^{-1}\Delta f$ можно ассоциировать с вектором $\mathrm{grad}\,f(\cdot)$. Обратимая матрица $\Delta x$ порядка $n$ состоит из специальных приращений аргумента ${x\in \mathbb R^n}$, а вектор $\Delta f$ состоит из специальных приращений функции $f$. Доказан ряд свойств вектора $(\Delta x)^{-1}\Delta f$, получена точная формула для его евклидовой нормы. Доказана полнота по специальной норме $\|\cdot\|$ пространства $\mathcal G(X)$, состоящего из непрерывных ограниченных функций $f\colon X\to\mathbb R$ и имеющих дополнительные ограничения типа ограничений Липшица–Гёльдера. Подобные функции играют важную роль при решении задач математической физики. Исследован ряд актуальных подпространств пространства $\mathcal G(X)$, доказано, что два из них банаховы, одно из них при $n=1$ и при определенных условиях является замыканием пространства кусочно-линейных функций $f\colon X\to\mathbb R$.

Ключевые слова: условие Липшица–Гёльдера, репер, симплекс, разбиение множества, кусочно-линейная функция

УДК: 517.982.22, 519.65

MSC: 26A16, 41A05

Поступила в редакцию: 15.01.2025
Принята в печать: 29.03.2025

DOI: 10.35634/vm250207

Реферативные базы данных:

•