Теория вероятностей и математическая статистика

Улучшение неравенства Массарта для статистики Смирнова

И. А. Ташков

МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва

Аннотация: Обозначим через $F_n$ эмпирическую функцию распределения по выборке из n независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения F. В данной работе доказано неравенство
\begin{equation*} \mathbb{P}\{\sqrt n\sup_{|x|<\infty}(F_n(x)-F(x))> \lambda\}\leq \exp\{-2\lambda^2-\lambda^4/36n\} \end{equation*}
для $n\geq 39, \min\{ \gamma n^{-1/6}, \sqrt{\ln 2/2}\}\leq\lambda\leq\sqrt n/2, \gamma=1.0841.$ Кроме того, доказано для тех же $n$ и $\lambda \leq \sqrt{n}/2$, что
\begin{equation*} \mathbb{P}\{\sqrt n\sup_{|x|<\infty}(F_n(x)-F(x))>\lambda\}\leq 2\exp^{(\ln 2)^2/(144n)}\exp\{-2\lambda^2-\lambda^4/36n\}. \end{equation*}
Для частных случаев $n=2,3,4$ доказана более сильная оценка
\begin{equation*} \mathbb{P}\{\sqrt n\sup_{|x|<\infty}(F_n(x)-F(x))>\lambda\}\leq \exp\{-2\lambda^2-4\lambda^4/9n\}. \end{equation*}


Ключевые слова: распределение статистики Смирнова, экспоненциальные неравенства.

УДК: 519.2

Поступила в редакцию: 10.12.2017
Исправленный вариант: 25.12.2017

DOI: 10.26456/vtpmk489

Реферативные базы данных:

•