МАТЕМАТИКА

Некоторые свойства одного класса векторных потенциалов с сингулярными ядрами

Э. Г. Халилов, В. О. Сафарова

Азербайджанский государственный университет нефти и промышленности, Баку, Азербайджан

Аннотация: Построенный А.М. Ляпуновым контрпример показывает, что для потенциалов простого и двойного слоев с непрерывной плотностью производная, вообще говоря, не существует. Следовательно, операторы
$$ (A\lambda)(x)=-2\int_\Omega[n(x),[n(x), rot_x\{\Phi_k(x,y)\lambda(y)n(y)\}]]d\Omega_y, \quad x\in\Omega, $$
и
$$ (B\mu)(x)=2\int_\Omega[n(x), grad_x\{\Phi_k(x,y)\mu(y)\}]d\Omega_y, \quad x\in\Omega, $$
не определены в пространстве непрерывных функций, где $\Omega\subset R^3$ — поверхность Ляпунова, $n(x)$ — внешняя единичная нормаль в точке $x\in\Omega$, а $\Phi_k(x,y)$ — фундаментальное решение уравнения Гельмгольца. В работе доказано, что если функции $\lambda(x)$ и $\mu(x)$ удовлетворяет условию Дини, то интегралы $(A\lambda)(x)$ и $(B\mu)(x)$ существуют в смысле главного значения Коши. Кроме того, показана справедливость оценки типа А. Зигмунда для интегралов $(A\lambda)(x)$ и $(B\mu)(x)$ и доказана ограниченность операторов $A$ и $B$ в обобщенных пространствах Гельдера.

Ключевые слова: электрическая граничная задача, магнитная граничная задача, векторные потенциалы, уравнение Гельмгольца, обобщенное пространство Гельдера.

УДК: 517.2, 519.64

Статья поступила: 08.02.2025
Статья принята в печать: 6 сентября 2025 г.

DOI: 10.17223/19988621/97/3