Научные статьи

Интегральное представление решения начальной задачи для волнового уравнения на геометрическом графе без граничных вершин

В. Л. Прядиев

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет»

Аннотация: Изучается начальная задача $u(x,0)=\varphi(x),$ $u_t(x,0)=0$ для волнового уравнения $u_{xx}(x,t)=u_{tt}(x,t)$ при $x\in\Gamma\setminus J$ и $t>0,$ в которой $\Gamma$ – геометрический граф (по Ю. В. Покорному) с прямолинейными рёбрами и без граничных вершин ($\partial\Gamma=\varnothing$), $J$ – множество всех внутренних вершин $\Gamma,$ функция $\varphi$ задана; условия трансмиссии, замыкающие задачу, – это, помимо непрерывности функции $u(\,\cdot\,,t)$ во внутренних вершинах, условия гладкости для неё, суть которых состоит в том, что при каждом $t\geqslant0$ в каждой внутренней вершине $a\in J$ сумма правых производных функции $u(\,\cdot\,,t)$ по всем допустимым направлениям равна 0. Доказывается, что если $G^\ast$ есть обобщённая функция Грина (по М. Г. Завгороднему, 2019) для краевой задачи $-y''(x)=f(x),$ $x\in\Gamma\setminus J,$ при гладких условиях трансмиссии (здесь $y$ – искомая функция, непрерывная в точках из $J,$ а $f$ – заданная функция, равномерно непрерывная на каждом ребре $\Gamma$), то классическое решение $u$ начальной задачи представимо в виде:
$$ u(x,t)=\langle\varphi\rangle-\int\limits_\Gamma g^\ast(x,t,s)\varphi''(s)\,ds, $$
где $\langle\varphi\rangle$ – среднее от $\varphi$ по $\Gamma,$ а $g^\ast(x,t,s)=[\mathcal C(t)G^\ast(\,\cdot\,,s)](x),$ где, в свою очередь, $\mathcal C$ есть операторная функция, конечным образом описываемая только через метрические и топологические характеристики $\Gamma.$ Подход к получению этого представления $u$ аналогичен подходу, реализованному автором ранее (2006) в случае, когда $\partial\Gamma\ne\varnothing$ и в точках $\partial\Gamma$ ставятся условия Дирихле.

Ключевые слова: волновое уравнение на геометрическом графе, гладкие условия трансмиссии, начальная задача, существование и единственность решения, интегральная формула решения, обобщенная функция Грина

УДК: 517.955

MSC: 35R02, 35A09, 35B30, 35C15, 35E15, 35E05, 35L05

Поступила в редакцию: 16.08.2025
Принята в печать: 21.11.2025

DOI: 10.20310/2686-9667-2025-30-152-361-381