Научные статьи

Задачи оптимального периодического сбора ресурса для моделей популяций, заданных разностными уравнениями

Л. И. Родина^ab, А. Х. Хаммади^c, А. В. Черникова<sup>b

a</sup> Национальный исследовательский технологический университет «МИСИС
^b ФГБОУ ВО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»
^c Университет Аль-Кадисия

Аннотация: Рассматриваются модели однородных или структурированных (по виду, возрасту или иному признаку) популяций, динамика которых при отсутствии эксплуатации задана системой разностных уравнений $x(k+1) = F\big(k, x(k)\big),$ где $x(k) = \big(x_1(k), \ldots, x_n(k)\big),$ $x_i(k),$ $i=1,\ldots,n$ — численность $i$-го вида или возрастного класса популяции в момент времени $k=0,1,2,\ldots;$ $F(k,x)=\bigl(F_1(k,x), \ldots, F_n(k,x)\bigr),$ $F_i(k,x)$ — вещественные функции, которые определены и непрерывны на множестве $\mathbb{R}^n_+ \doteq\big\{x\in\mathbb{R}^n : x_1\geqslant0, \ldots, x_n\geqslant0\big\}.$
Предполагается, что в моменты времени $k=1, 2, \ldots$ популяция подвержена промысловому воздействию $u(k)=(u_1(k),\ldots,u_n(k))\in[0, 1]^n.$ Тогда исследуется модель эксплуатируемой популяции, заданной системой разностных уравнений
$$ X(k+1) = F\bigl(k,(1-u(k))X(k)\bigr), \quad k=1, 2, \ldots, $$
где $X(k)=\big(X_1(k), \ldots, X_n(k)\big),$ $(1-u(k))X(k)=\big((1-u_1(k))X_1(k),\ldots,(1-u_n(k))X_n(k)\big),$ $X_i(k)$ и ${(1-u_i(k))X_i(k)}$ — количество ресурса $i$-го вида до и после сбора в момент $k$ соответственно, $i=1,\ldots,n.$
Исследуется задача оптимального сбора возобновляемого ресурса на неограниченном промежутке времени при периодическом режиме эксплуатации, при котором достигаются наибольшие значения характеристик сбора. Первая из таких характеристик — средняя временная выгода, заданная пределом при $k\to\infty$ среднего арифметического стоимости ресурса за $k$ сборов. Другая — эффективность сбора, равная пределу при $k\to\infty$ отношения стоимости ресурса, полученной за $k$ сборов, к сумме приложенных для этого управлений (усилий сбора). Результаты работы проиллюстрированы на примерах однородной эксплуатируемой популяции, заданной дискретным логистическим уравнением, и структурированной популяции, состоящей из двух видов.

Ключевые слова: модель подверженной промыслу популяции, оптимальная эксплуатация, периодический сбор возобновляемого ресурса, средняя временная выгода, эффективность сбора ресурса

УДК: 517.935

MSC: 39A05, 39A23, 49N20, 93C55

Поступила в редакцию: 25.04.2025
Принята в печать: 12.09.2025

DOI: 10.20310/2686-9667-2025-30-151-255-266