Научные статьи

О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций в пространстве $L_{2}$

М. Р. Лангаршоев^a, С. С. Хоразмшоев<sup>b

a</sup> АНО ВО «Московский гуманитарно-технологический университет – Московский архитектурно-строительный институт»
^b Таджикский технический университет им. академика М. С. Осими

Аннотация: Рассматривается множество $L_{2}^{(r)}$ $2\pi$-периодических функций $f\in L_{2},$ у которых производная $(r-1)$-го порядка абсолютно непрерывна, а производная $r$-го порядка $f^{(r)}\in L_{2}.$ Решается экстремальная задача нахождения точной константы типа Джексона–Стечкина, связывающей наилучшее полиномиальное приближение функций из $L_{2}^{(r)}$ и усредненное значение обобщенного модуля непрерывности $m$-го порядка их производной $f^{(r)}$ в пространстве $L_{2}.$ Также рассмотрены классы $W_{m}^{(r)}(u)$ и $W_{m}^{(r)}(u,\Phi)$ функций из $L_{2}^{(r)}$ таких, что усредненное значение обобщенного модуля непрерывности $m$-го порядка их производной $f^{(r)}$ ограничено сверху единицей и, соответственно, значением некоторой функции $\Phi(u).$ Вычислены точные значения известных $n$-поперечников (по Бернштейну, по Гельфанду, колмогоровского, линейного и проекционного) класса $W_{m}^{(r)}(u).$ Затем решена экстремальная задача нахождения точного значения наилучшего приближения для класса $W_{m}^{(r)}(u,\Phi).$ Полученные результаты развивают и дополняют некоторые известные результаты о наилучшем приближении в $L_{2}$ различных классов функций. В работе мы используем методы решения экстремальных задач в нормированных пространствах, а также метод оценки снизу $n$-поперечников функциональных классов в банаховых пространствах, разработанный В. М. Тихомировым.

Ключевые слова: наилучшее полиномиальное приближение в $L_{2},$ экстремальная характеристика — обобщенный модуль непрерывности, $n$-поперечники

УДК: 517.5, 519.65

MSC: 42A10, 41A17, 41A44

Поступила в редакцию: 20.12.2024
Принята в печать: 13.03.2025

DOI: 10.20310/2686-9667-2025-30-149-56-65