Математика

О гладкости решения одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения

В. А. Киричек

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, г. Самара, Российская Федерация

Аннотация: В статье рассматривается нелокальная задача с интегральным граничным условием для гиперболического уравнения. Условия задачи содержат производные первого порядка как по $x$, так и по $t$, что можно интерпретировать как упругое закрепление правого конца стержня при наличии некоего демпфера, а так как в условиях также присутствует интеграл от искомого решения, то это условие является нелокальным. Известно, что задачи с нелокальными интегральными условиями являются несамосопряженными, а, значит, исследование разрешимости сталкивается с трудностями, не свойственными самосопряженным задачам. Дополнительные трудности возникают и в силу того, что одно из условий является динамическим. Исследована гладкость решения нелокальной задачи. Введено понятие обобщенного решения и доказано существование производных второго порядка и принадлежность их пространству $L_2$. Доказательство основано на априорных оценках, полученных в статье.

Ключевые слова: нелокальные условия, динамические граничные условия, гиперболическое уравнение, обобщенное решение, пространства Соболева, гладкость решения.

УДК: 517.95

Поступила в редакцию: 13.03.2020
Исправленный вариант: 27.03.2020
Принята в печать: 25.05.2020

DOI: 10.18287/2541-7525-2020-26-2-15-22