Эта публикация цитируется в 4 статьях

Дифференциальные уравнения и математическая физика

Аналог задачи Дезина для уравнения параболо-гиперболического типа с условиями периодичности

Р. А. Киржинов

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, г. Нальчик, 360000, Россия

Аннотация: В прямоугольной области рассматривается неоднородное уравнение смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка. Для данного уравнения исследуется аналог задачи А. А. Дезина, который заключается в отыскании решения уравнения, удовлетворяющего внутренне-краевому условию, связывающему значение искомой функции на линии изменения типа уравнения со значением нормальной производной на границе в области гиперболичности, и неоднородным нелокальным краевым условиям периодичности. Приводится подстановка, позволяющая свести задачу к эквивалентной и, не теряя общности, ограничиться исследованием задачи с однородными условиями для неоднородного уравнения. Доказаны теоремы единственности и существования решения задачи, решение выписано в явном виде.
Решение поставленной задачи ищется в виде суммы ряда Фурье по ортонормированной системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. Установлен критерий единственности решения задачи. Для случая, когда нарушен критерий единственности, приведен пример нетривиального решения однородной задачи и получено необходимое и достаточное условие существования решения неоднородной задачи.
При обосновании существования решения возникает проблема малых знаменателей в сумме ряда относительно соотношения сторон прямоугольника в гиперболической части области. Получена оценка отделенности знаменателя от нуля при некоторых условиях относительно параметров задачи, которая при определенных условиях на заданные функции позволяет доказать абсолютную и равномерную сходимость как формально построенного решения, так и соответствующих производных, входящих в уравнение.

Ключевые слова: аналог задачи Дезина, уравнение параболо-гиперболического типа, нелокальные краевые условия.

УДК: 517.956.6

MSC: 35M10

Получение: 29 октября 2021 г.
Исправление: 7 декабря 2021 г.
Принятие: 24 января 2022 г.
Публикация онлайн: 13 мая 2022 г.

DOI: 10.14498/vsgtu1892

Реферативные базы данных:

• 
• 
• 
• 
•