Краткие сообщения

О точных по высоте оценках для совместных приближений некоторых линейных форм

А. И. Галочкин


Аннотация: Пусть $\mathbb I$ – поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле, $\varepsilon$ – некоторый корень из единицы, поле $\mathbb K=\mathbb I(\varepsilon)$. Для числа $\alpha\in\mathbb K$ обозначим через $\alpha^{[\sigma}]$, $\sigma=\overline{1,v}$, числа, сопряженные числу $\alpha$ в поле $\mathbb K$ относительно поля $\mathbb I$, для функции $f\in\mathbb K[[z]]$ через $f^{[\sigma]}(z)$, $\sigma=\overline{1,v}$, обозначим функции, в которых все коэффициенты степенного ряда $f(z)$ заменены на соответствующие сопряженные им числа в поле $\mathbb K$. Пусть
$$ \psi(z)=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n} {a^{(s+1)n}n![\lambda_1+1,n]\dotsb[\lambda_s+1,n]}, \quad [\lambda+1,n]=(\lambda+1)\dotsb(\lambda+n), $$
где $a$, $a\lambda_j\in\mathbb Z_{\mathbb I}$, $\lambda_j\neq-1,-2,\dots$. В явном виде выписывается функция $\Phi(H)=H^{-s}(\log{H})^{-c}(\log\log{H})^{-d}$, для которой справедлива следующая
Теорема. Пусть $0\neq b\in\mathbb Z_{\mathbb I}$,
$$ R+\sum_{k=0}^s h_k\psi^{(k)}\left(\frac{\varepsilon}b\right),\quad h_k\in\mathbb Z_{\mathbb K}, \quad \max_{k,\sigma}|h_k^{(\sigma)}|=H>3. $$
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) существует бесконечное множество форм $R$, таких , что $|R|<C_1\Phi(H)$;
2) для любой формы $R$ выполняется неравенство $\max_\sigma|R^{(\sigma)}|> C_2\Phi(H)$, где положительные постоянные $C_1$ и $C_2$ не зависят от $H$.
Библиогр. 2.

УДК: 511.36

Поступила в редакцию: 17.01.2000

Реферативные базы данных:

• 
•