О порождении некоторых матричных групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны

Т. Б. Шаипова

Институт математики и фундаментальной информатики СФУ, Россия, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79

Аннотация: Группу, порожденную тремя инволюциями, две их которых перестановочны, назовем $(2\times 2,2)$-порожденной. Известно, что специальная линейная группа $SL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ над кольцом целых гауссовых чисел $\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$ (соответственно ее фактор-группа по центру $PSL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$) является $(2\times 2,2)$-порожденной тогда и только тогда, когда $n\geq 5$ и $n\neq 6$ (соответственно когда $n\geq 5$). Ясно, что общая линейная группа $GL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ не является $(2\times 2,2)$-порожденной, поскольку в ней есть матрицы с определителем, отличным от $\pm 1$, а определитель любой ее инволюции равен $\pm 1$. Известно также, что группа $PGL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ является $(2\times 2,2)$-порожденной тогда и только тогда, когда $n\geq 5 $ и $4$ не делит $n$. В данной статье задача о $(2\times 2,2)$-порожденности рассматривается для группы матриц $GL_n^{\pm 1}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ с определителем $\pm 1$ над кольцом целых гауссовых чисел и ее фактор-группы по центру $PGL_n^{\pm 1}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$.

Ключевые слова: общая и проективная линейные группы, кольцо целых гауссовых чисел, порождающие тройки инволюций.

УДК: 512.54

MSC: 20Н25

Поступила в редакцию: 29.04.2025

DOI: 10.46698/a1967-7824-2561-m