О применениях конечных полей к функции Эйлера

У. М. Пачев, А. А. Токбаева

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, Россия, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173

Аннотация: Работа относится к применениям конечных полей к функции Эйлера из теории чисел. С помощью понятия нормированного неприводимого многочлена заданной степени над конечным полем $F_{q}$ получен некоторый аналог известного соотношения Гаусса $\sum\nolimits_{d|n}\varphi(d)=n$. Здесь $\varphi(k)$ — арифметическая функция Эйлера, значение которой равно количеству чисел ряда $1,2,\ldots,k$, взаимно простых с числом $k$. Для формулировки и доказательства аналога этого соотношения используется ряд понятий и предварительных результатов из теории многочленов над конечным полем $F_{q}$ из $q$ элементов. Именно к ним относятся понятия нормированного неприводимого многочлена от одной переменной над полем $F_{q}$ и $n$-кругового многочлена $Q_{n}(x)$ над любым полем ненулевой характеристики. Кроме того, существенно используется также понятие порядка многочлена $f(x) \in F_{q}[x]$, согласно которому наименьшее натуральное число $e$, для которого многочлен $f(x)$ делит $x^{e}-1$ в кольце $F_{q}[x]$ есть порядок многочлена $f(x)$. При этом на явной формуле $n$-кругового многочлена $Q_{n}(x)$, а также на вспомогательном результате для числа нормированных неприводимых многочленов $f(x) \in F_{q}[ x]$ степени $m$ и заданного порядка $e$ основаны доказательства основных новых результатов. Основными из них являются формула для числа $N_{q}(n)$ нормированных неприводимых многочленов степени $n$, а также аналог соотношения Гаусса для функции Эйлера.

Ключевые слова: конечное поле, нормированный неприводимый многочлен, порядок многочлена, $n$-круговой многочлен, функция Эйлера.

УДК: 511.17, 512.624

MSC: 11T55

Поступила в редакцию: 28.04.2025

DOI: 10.46698/m2155-1449-8044-d