Конечные неразрешимые группы, графы Грюнберга — Кегеля которых изоморфны графу «балалайка». Случай $q\leq 3$

А. С. Кондратьев^a, Н. А. Минигулов^ab, М. С. Нирова<sup>c

a</sup> Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, Уральский математический центр, Россия, 620108, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16
^b Уральский федеральный университет, Россия, 620062, Екатеринбург, ул. Мира, 19
^c Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, Россия, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173

Аннотация: Граф Грюнберга — Кегеля $\Gamma(G)$ (или граф простых чисел) конечной группы $G$ — это граф, в котором вершинами служат все простые делители порядка группы $G$, и две различные вершины $p$ и $q$ смежны тогда и только тогда, когда $G$ содержит элемент порядка $pq$. Одним из популярных направлений исследований в теории конечных групп является изучение групп c заданными свойствами их графов Грюнберга — Кегеля. В 2012–2013 гг. первый автор описал конечные группы с графом Грюнберга — Кегеля как для группы ${\rm Aut}(J_2)$, так и для группы $A_{10}$. Графы Грюнберга — Кегеля этих групп изоморфны (как абстрактные графы) графу «балалайка». Граф «балалайка» — это граф на четырех вершинах, степени которых равны $1$, $2$, $2$ и $3$. Обобщая упомянутые результаты А. С. Кондратьева, мы рассматриваем проблему описания конечных групп, графы Грюнберга — Кегеля которых изоморфны графу «балалайка». В 2018 г. А. С. Кондратьев и Н. А. Минигулов доказали, что если $G$ — конечная неразрешимая группа и граф $\Gamma(G)$ изоморфен графу «балалайка», то фактор-группа $G/S(G)$ группы $G$ по ее разрешимому радикалу $S(G)$ почти проста. Кроме того, были класcифицированы все конечные почти простые группы, графы Грюнберга — Кегеля которых изоморфны подграфам графа «балалайка». В двух работах 2022 г. А. С. Кондратьев и Н. А. Минигулов описали все конечные разрешимые группы с графом Грюнберга — Кегеля, изоморфным графу «балалайка». Кроме того, были классифицированы конечные неразрешимые группы $G$, графы Грюнберга — Кегеля которых изоморфны графу «балалайка», в следующих двух случаях: $(1)$ группа $G$ не содержит элементов порядка $6$; $(2)$ группа $G$ содержит элемент порядка $6$ и вершина степени $1$ графа $\Gamma(G)$ делит $|S(G)|$. В этой работе продолжается исследование проблемы и изучается ее важный новый случай, когда в конечной неразрешимой группе $G$ с графом Грюнберга — Кегеля, изоморфным графу «балалайка», вершина степени $1$ графа $\Gamma(G)$ не превосходит $3$.

Ключевые слова: конечная группа, неразрешимая группа, граф Грюнберга — Кегеля, граф «балалайка».

УДК: 512.542

MSC: 20D10, 20D60, 05C25

Поступила в редакцию: 27.04.2025

DOI: 10.46698/o5301-6902-4904-l