Аннотация:
В 2002 г. второй автор данной статьи записал в Коуровской тетради следующую задачу (вопрос 15.67). А) Какие присоединенные группы Шевалле (нормального типа) над кольцом целых чисел порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны? К настоящему времени эта задача решена только для групп Шевалле типа $A_n$ (случай $PSL_{n+1}$), $E_n$ и $G_2$. Конечно, задачу А) можно рассматривать и для других однопорожденных колец, и не только для присоединенных групп Шевалле. Так, аналог задачи А) решен для групп $PSL_{n}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ и $SL_{n}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ над кольцом целых гауссовых чисел $\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$, причем для некоторых малых размерностей $n\leq 6$ ответ оказался отрицательный. В данной статье доказывается, что группа Шевалле $G_2(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})$ над кольцом целых гауссовых чисел порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны. В качестве следствия получается, что для нее минимальное число порождающих инволюций, произведение которых равно $1$, совпадает с $5$.
Полный текст:
PDF файл (235 kB)