Аннотация:
Пусть $G$ — конечная группа, $A$ и $B$ — подгруппы из $G$. Через $M=M_G(A,B)$ (соответственно $m=m_G(A,B)$) обозначается множество всех минимальных по включению (соответственно по порядку) пересечений вида $A\cap B^g$, где $g\in G$. Положим $\min_G(A,B)=\langle m\rangle$ и ${\mathrm Min}_G(A,B)=\langle M\rangle$. В 1994 г. автор доказал, что если $A$ и $B$ — абелевы подгруппы из $G$, то ${\mathrm Min}_G(A,B)\le F(G)$. В данной работе дается другое доказательство этого результата. Кроме того, построена конечная группа $G$, содержащая абелеву подгруппу $A$, минимальную неабелеву подгруппу $B$ и элементы $g_1$ и $g_2$ такие, что $A\cap B^{g_1}\le F(G)$, $A\cap B^{g_2}\not\le F(G)$, $|A\cap B^{g_1}|=|A\cap B^{g_2}|$ и $A\cap B^{g_1}$, $ A\cap B^{g_2}\in\min_G(A,B)$. Приведен пример группы $G$ такой, что для некоторых $g_1, g_2\in G$ имеем $A\cap B^{g_1}$, $A\cap B^{g_2}\in{\mathrm Min}_G(A,B)$, $A\cap B^{g_1}\le F(G)$ и $A\cap B^{g_2}\not\le F(G)$. Показано также, что существует группа $G$ с нильпотентными подгруппами $A$ и $B$ такими, что $m\subset M$ и $\min_G(A,B) < {\mathrm Min}_G(A,B)$.
Полный текст:
PDF файл (217 kB)