On some interpolation inequalities due to Olga Ladyzhenskaya and nonlinear partial differential equations

[О некоторых интерполяционных неравенствах, полученных О. А. Ладыженской, и нелинейных уравнениях в частных производных]

S. P. Degtyarev

Moscow Technical University of Communications and Informatics, 8 a Aviamotornaya St., Moscow 111024, Russia

Аннотация: В статье рассмотрены некоторые мультипликативные интерполяционные неравенства между пространствами Гельдера и Лебега. Мультипликативные интерполяционные неравенства типа Гальярдо — Ниренберга широко используются в исследованиях по дифференциальным уравнениям в частных производных. Ранее были доказаны и применены несколько типов таких неравенств, включающих норму (полунорму) Гельдера. Настоящая статья обобщает имеющиеся результаты на случай анизотропных «параболических» пространств, предлагая простое доказательство, основанное на идее О. А. Ладыженской. В работе приводится применение такого неравенства типа Гальярдо — Ниренберга с нормой Гельдера. Используя более слабую интегральную оценку, это неравенство позволяет легко получить априорную оценку решения квазилинейной параболической задачи в гладких классах Гельдера. На основании этой априорной оценки устанавливается существование решения этой задачи. Для доказательства мультипликативного неравенства типа Гальярдо — Ниренберга с нормой Гельдера используется эквивалентная нормировка пространств Гельдера высоких порядков в терминах поведения конечных разностей высокого порядка. Ключевой технический прием заключается в представлении значения функции $u(x, t)$ в произвольной точке $(x, t)$ в терминах ее конечной разности высокого порядка в этой точке, а также добавочной суммы значений функции в соседних точках. После этого производится интегрирование по соседним точкам по шарам $B_{r}((x, t))$ малого радиуса $r$ с центром в $(x, t)$. Оценивая конечную разность через полунорму Гельдера, мы приходим к аддитивному неравенству с параметром $r$, которое включает полунорму Гельдера и интегральную норму. Наконец, оптимизируя полученное аддитивное неравенство по параметру $r$, приходим непосредственно к мультипликативному неравенству, включающему нормы Гельдера и Лебега.

Ключевые слова: интерполяционные неравенства, априорные оценки, нелинейные дифференциальные уравнения.

УДК: 517.9

MSC: 26D10, 35K59

Поступила в редакцию: 22.09.2024

Язык публикации: английский

DOI: 10.46698/e0942-9744-3775-a