Analysis of the existence of periodic solutions of the systems of nonlinear differential equations with a small parameter

[Исследование существования периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром]

G. E. Grishanina^a, E. M. Muhamadiev^b, I. J. Nurov^c, Z. I. Sharifzoda<sup>c

a</sup> State University Dubna, 19 Universitetskaya St., Dubna 141980, Russia
^b Vologda State University, 15 Lenina St., Vologda 160000, Russia
^c Tajik National University, 17 Rudaki Ave., Dushanbe 734063, Tajikistan

Аннотация: В работе изучается вопрос о существовании периодических решений-циклов в нелинейных дифференциальных уравнениях с малым параметром. Получены необходимые и достаточные условия существования периодических решений, которые существенно расширяют область применимости метода малого параметра Л. С. Понтрягина из теории динамических систем на плоскости. При этом не предполагается дифференцируемость всех входящих в систему функций, а также того, что система является гамильтоновой. Для доказательства существования периодических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений в работе применяются топологические методы нелинейного анализа. На основе предложенных методов сформулированы и установлены теоремы о необходимых и достаточных условиях существования периодических решений при условии непрерывности всех входящих в систему функций. С целью упрощения изучаемой системы в работе используется переход к полярной системе координат и жордановы преобразования. В заключительной части предложен метод разработки примеров для конкретного класса функций, а также приведен пример системы, для которой легко проверяются условия существования периодических решений при малых значениях $\varepsilon$.

Ключевые слова: нелинейные дифференциальные уравнения, малый параметр, жорданово преобразование, гомотопия, вращение векторных полей.

УДК: 517.91

MSC: 34A34, 39A23,46T20, 47A55

Поступила в редакцию: 16.10.2024

Язык публикации: английский

DOI: 10.46698/r6381-0860-2384-e