The one radius theorem for the Bessel convolution operator and its applications

[Теорема об одном радиусе для оператора свертки Бесселя и ее применения]

G. V. Krasnoschekikh, Vit. V. Volchkov

Donetsk State University, 24 Universitetskaya St., Donetsk 283001, Russia

Аннотация: Хорошо известно, что всякая функция $f\in C(\mathbb{R}^n)$, $n\geq2$, имеющая нулевые интегралы по всем шарам и сферам фиксированного радиуса $r$, является тождественным нулем. В данной работе изучается подобное явление для шаровых и сферических средних относительно $\alpha$-свертки Бесселя. Пусть $\alpha\in(-1/2,+\infty)$, $L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R)$ — класс четных локально суммируемых по мере $d\mu_\alpha(x)=|x|^{2\alpha+1}dx$ функций на интервале $(-R,R)$, $f\overset{\alpha}\star g$ — свертка Бесселя функции $f\in L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R)$ и четного распределения $g$ на $\mathbb{R}$ с носителем на $(-R,R)$. Основной результат статьи дает решение задачи об инъективности оператора
\begin{equation*} f\rightarrow(f\overset{\alpha}\star\chi_r, f\overset{\alpha}\star\delta_r), f\in L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R), 0<r<R, \end{equation*}
где $\chi_r$ — индикатор отрезка $[-r,r]$, $\delta_r$ — четная мера, сопоставляющая четной непрерывной функции $\varphi$ на $\mathbb{R}$ число $\varphi(r)$. На основе техники, связанной с классическими ортогональными многочленами и недавними исследованиями авторов, показано, что при $R\geq2r$ ядро указанного оператора является нулевым, а при $r<R<2r$ состоит из функций $f\in L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R)$, равных нулю на $(2r-R,R)$ и имеющих нулевой интеграл (относительно меры $d\mu_\alpha$) по промежутку $(0,2r-R)$. Этот результат позволил получить новый критерий замкнутости системы обобщенных сдвигов Бесселя индикаторов отрезков в пространстве $L^p_{\natural,\alpha}(-R,R)$, $1\leq p<\infty$, а также новую теорему единственности для решений задачи Коши обобщенного уравнения Эйлера — Пуассона — Дарбу.

Ключевые слова: обобщенный сдвиг, периодичность в среднем, многочлены Гегенбауэра, аппроксимация сдвигами, уравнение Эйлера — Пуассона — Дарбу.

УДК: 517.5

MSC: 42A85, 41A30, 33С10, 35Q05

Поступила в редакцию: 13.08.2024

Язык публикации: английский

DOI: 10.46698/e5897-8783-0193-o