Conditions for the limit summability of solutions of nonlinear elliptic equations with degenerate coercivity and $L^1$-data

[Условия предельной суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с вырождающейся коэрцитивностью и $L^1$-данными]

A. A. Kovalevsky

Institute of Applied Mathematics and Mechanics, 74 Rosa Luxemburg St., Donetsk 283048, Russia

Аннотация: Изучаются энтропийные и слабые решения задачи Дирихле для одного класса нелинейных эллиптических уравнений второго порядка с вырождающейся коэрцитивностью и правой частью $f$ из $L^{1}(\Omega)$, где $\Omega$ — ограниченное открытое множество в ${\mathbb R}^n$ ($n\geqslant 2$). Условие роста на коэффициенты уравнений допускает любой их рост относительно самой неизвестной функции. Используя некоторую функцию $\tilde{f}\colon[0,+\infty)\to{\mathbb R}$, порожденную функцией $f$, получены оценки функции распределения энтропийного решения и его градиента. С помощью этих оценок установлены интегральные условия на функцию $\tilde{f}$, гарантирующие принадлежность энтропийных решений и их градиентов предельным пространствам Лебега. Как следствие, получены условия принадлежности энтропийных решений предельному пространству Соболева $W^{1,r}_{0}(\Omega)$ и, как частный случай, пространству $W^{1,1}_{0}(\Omega)$. Кроме того, установлены условия существования слабых решений рассматриваемой задачи, принадлежащих пространству $W^{1,r}_{0}(\Omega)$. Полученные результаты обобщают известные результаты для уравнений, коэффициенты которых удовлетворяют обычному условию коэрцитивности.

Ключевые слова: нелинейное эллиптическое уравнение, вырождающаяся коэрцитивность, задача Дирихле, энтропийное решение, слабое решение, суммируемость решений.

УДК: 517.95

MSC: 35B65, 35J25, 35J60, 35J70

Поступила в редакцию: 16.02.2025

Язык публикации: английский

DOI: 10.46698/f7980-3632-9547-r