О типе Полиа целой функции

К. Г. Малютин

Курский государственный университет, Россия, 305000, Курск, ул. Радищева, 33

Аннотация: Пусть $f$ — целая функция, $M(r,f)=\max\nolimits_{|z|=r}|f(z)|$ — максимум модуля функции $f$ в круге $|z|\leq r$. В статье рассматриваются функции плотности максимума модуля функции $f$, котоpые вычисляются по фоpмулам $ M(\alpha)=\varlimsup\nolimits_{r\to\infty}\frac{M(r+\alpha r,f)-M(r,f)}{r^{\rho(r)}},\ \underline M(\alpha)=\varliminf\nolimits_{r\to\infty}\frac{M(r+\alpha r,f)-M(r,f)}{r^{\rho(r)}}, \alpha\geq 0 , $ где $\rho(r)$ — уточненный порядок в смысле Валирона, $\lim\nolimits_{r\to+\infty}\rho(r)=\varrho\geq 0$. Доказывается, что $M(\alpha)$ и $\underline M(\alpha)$ являются $\varrho$-полуаддитивными функциями. Вводится определение типа $\sigma_p(f)$ и минимального типа $\underline\sigma_p(f)$ в смысле Полиа функции $f$ по формулам $ \sigma_p(f)=\lim\nolimits_{\alpha\to+0}\frac{M(\alpha)}{\alpha},\ \underline\sigma_p(f)=\lim\nolimits_{\alpha\to+0}\frac{\underline M(\alpha)}{\alpha}, $ которые дают большую информацию о поведении функции, чем ее тип и нижний тип в классическом смысле. Это определение является распространением понятий максимальной и минимальной плотности последовательности положительных чисел, введенных Полиа, который доказал их существование, если рост считающей функции последовательности чисел имеет нормальный тип относительно $r$. Доказывается существование величин $\sigma_p(f)$ и $\underline\sigma_p(f)$, если рост $\ln|f|$ имеет тип не выше чем нормальный относительно $r^{\rho(r)}$ в классическом смысле, т. е. $\ln M(r,f)\leq Kr^{\rho(r)}$ при некотором $K>0$. Рассматриваются некоторые свойства функций $M(\alpha)$ и $\underline M(\alpha)$.

Ключевые слова: целая функция, функция плотности, полуаддитивная функция, теорема Полиа, максимальный тип, минимальный тип.

УДК: 517.53

MSC: 30D15, 30D20

Поступила в редакцию: 29.11.2024

DOI: 10.46698/k4349-9424-9818-w