Об индексе бисингулярного оператора с инволютивным сдвигом

С. В. Ефимов

Северо-Кавказский филиал Московского технического университета связи и информатики, Россия, 344002, Ростов-на-Дону, ул. Серафимовича, 62/59

Аннотация: В теории сингулярных операторов с инволютивным сдвигом полностью изучены вопросы нётеровости (фредгольмовости) и индекса оператора вида $A+VB$, где $A$ и $B$ — сингулярные операторы, а $V$ — оператор инволютивного сдвига в пространстве $p$-суммируемых функций на простом замкнутом контуре типа Ляпунова. Вместе с оператором $A+VB$ рассматривается соответствующий матричный сингулярный оператор без сдвига $M=\left(
\begin{array}{cc}A&{VBV}\\ B&{VAV}\end{array}
\right)$. Хорошо известно, что операторы $A+VB$ и $M$ нётеровы или нет одновременно, а их индексы относятся как $1:2$. Аналогичные вопросы об одновременной нётеровости и пропорциональности индексов возникают для бисингулярных операторов с инволютивным сдвигом $A+WB$ и их соответствующих матричных операторов $M=\left(
\begin{array}{cc}A&{WBW}\\ B&{WAW}\end{array}
\right)$, где $A$ и $B$ — бисингулярные операторы, а $W$ — оператор инволютивного сдвига в пространстве $p$-суммируемых функций на прямом произведении простых замкнутых контуров типа Ляпунова. В настоящей работе исследованы бисингулярные операторы с инволютивным сдвигом, распадающимся на одномерные компоненты. Рассмотрены два вида таких сдвигов — покоординатный и перекрестный. В этих случаях соответствующие матричные операторы являются матричными бисингулярными операторами без сдвига. Получена одновременная нётеровость бисингулярного оператора со сдвигом и соответствующего матричного бисингулярного оператора без сдвига. Установлена пропорциональность индексов бисингулярных операторов с покоординатным сдвигом и соответствующих матричных операторов, а именно: доказано, что индексы этих операторов относятся как $1:2$. В частном случае такой же результат об индексах получен и для перекрестного сдвига.

Ключевые слова: оператор Нётера, индекс оператора, бисингулярный оператор, инволютивный сдвиг.

УДК: 517.9

MSC: 47A53, 47G10, 45E05

Поступила в редакцию: 01.04.2024

DOI: 10.46698/a3118-8799-1112-n