Tricomi problem analogue for a second order mixed type equation

[Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка]

Zh. A. Balkizov

Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS, 89 a Shortanova St., Nalchik 360000, Russia

Аннотация:  В работе исследован аналог задачи Трикоми для одного уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка с оператором теплопроводности в области параболичности и с вырождающимся гиперболическим оператором первого рода в области гиперболичности. Линия изменения типа $y=0$ является характеристической для параболического уравнения и нехарактеристической для гиперболического. Исследуется задача, когда значения искомой функции $u=u(x,y)$ заданы на граничных отрезках $AA_0$, $BB_0$ прямых $x=0$ и $x=r$, где $A=(0,0)$, $A_0=(0,h)$, $B_0=(r,h)$, $B=(r,0)$, $r>0$, $h>0$, а также задано значение $u=u(x,y)$ на характеристике $\sigma _{1} =AC: x-\frac{2}{m+2} \left(-y\right)^{\left({\rm m}+{\rm 2}\right)/2} =0$ гиперболического уравнения при $y<0$. Ранее подобные задачи были предметом исследований многих авторов, таких, например, как работы А. М. Нахушева и Х. Г. Бжихатлова, М. С. Салахитдинова и А. С. Бердышева. В данной работе доказаны теоремы единственности и существования регулярного решения исследуемой задачи. При доказательстве теоремы единственности решения задачи используются современные методы теории дробного исчисления, а существование доказана с помощью метода интегральных уравнений. В случае, когда коэффициенты рассматриваемого уравнения являются постоянными, решение найдено и выписано в явном виде. Доказанные теоремы обобщают полученные ранее результаты как в плане условий достаточности для единственности решения аналога задачи Трикоми, так и в плане теоремы существования.

Ключевые слова: уравнение смешанного параболо-гиперболического типа, вырождающееся гиперболическое уравнение первого рода, задача Трикоми, метод Трикоми, дробное исчисление, метод интегральных уравнений, интегральное уравнение Вольтерра второго рода типа свертки, интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

УДК: 517.956.6

MSC: 35M12

Поступила в редакцию: 01.03.2024

Язык публикации: английский

DOI: 10.46698/s3616-5567-7503-v