Эта публикация цитируется в 1 статье

Об аналогах теоремы Фурмана на плоскости Лобачевского

А. В. Костин

Елабужский институт Казанского (Приволжского) федерального университета, Россия, 423604, Елабуга, ул. Казанская, 89

Аннотация: Согласно теореме Птолемея, у четырехугольника, вписанного в окружность на евклидовой плоскости, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон. Эта теорема имеет различные обобщения. На плоскости в одном из обобщений вместо четырехугольника рассматривается вписанный шестиугольник. Соответствующее утверждение, связывающее длины сторон и больших диагоналей вписанного шестиугольника, называют теоремой Птолемея для шестиугольника или теоремой Фурмана. Теорема Кейси является другим обобщением теоремы Птолемея. В ней вместо четырех точек, лежащих на некоторой фиксированной окружности, рассматриваются четыре окружности, касающиеся этой окружности, а вместо длин сторон и диагоналей — длины отрезков касательных к окружностям. Если кривизна плоскости Лобачевского равна минус единице, то в аналогах теорем Птолемея, Фурмана и Кейси для вписанных в окружность многоугольников или окружностей, касающихся одной окружности, длины соответствующих отрезков, деленные на два, будут стоять под знаками гиперболических синусов. В данной работе доказываются теоремы, обобщающие на плоскости Лобачевского и теорему Кейси, и теорему Фурмана. На плоскости Лобачевского рассматриваются шесть окружностей, касающихся некоторой линии постоянной кривизны, и для длин отрезков касательных доказываются утверждения, обобщающие эти теоремы. Если в дополнение к длинам отрезков геодезических касательных рассматривать длины дуг касательных орициклов, то между евклидовыми и гиперболическими соотношениями можно установить соответствие. Наиболее наглядно это можно продемонстрировать, если взять набор орициклов, касающихся одной линии постоянной кривизны на плоскости Лобачевского. В этом случае если длина отрезка геодезической касательной к орициклам равна $t$, то длина «орициклической» касательной к ним равна $\mathrm{sh}\,\frac {t}{2}$. Значит, если геодезические касательные связаны «гиперболическим» соотношением, то «орициклические» касательные будут связаны соответствующим «евклидовым» соотношением.

Ключевые слова: теорема Птолемея, теорема Кези, теорема Фурмана, плоскость Лобачевского, орицикл, эквидистанта.

УДК: 514.13

MSC: 51M09

Поступила в редакцию: 26.11.2022

DOI: 10.46698/d0031-4733-6473-n

 Англоязычная версия: , 2024, 65:3, 695–702