МАТЕМАТИКА

Generalized natural density $DF(\mathfrak{F}_k)$ of Fibonacci word

[Обобщенная естественная плотность $DF(\mathfrak{F}_k)$ слова Фибоначчи]

D. Abdullah, J. Hamoud

Moscow Institute of Physics and Technology

Аннотация: В данной статье рассматриваются глубокие обобщения последовательности Фибоначчи, включая случайные последовательности Фибоначчи, k-слова Фибоначчи и их комбинаторные свойства. Мы установили, что корень n-й степени из абсолютного значения членов случайной последовательности Фибоначчи сходится к $1.13198824\ldots$, с последующими уточнениями Ритто, дающими предел приблизительно 1.20556943 для корня n-й степени ожидаемого значения. Новые определения, такие как естественная плотность множеств положительных целых чисел и предельная плотность последовательностей Фибоначчи по модулю степеней простых чисел, обеспечивают надежную основу для нашего анализа. Мы вводим концепцию k-слов Фибоначчи, расширяя классические слова Фибоначчи до более высоких измерений, и исследуем их закономерности наряду с последовательностями, такими как слова Туэ-Морса и Штурма. Наши основные результаты включают теорему об уникальном представлении действительных чисел с помощью чисел Фибоначчи, тождество симметрии для сумм, содержащих слова Фибоначчи, $\sum_{k=1}^{b} \dfrac{(-1)^k F_a}{F_k F_{k+a}}= \sum_{k=1}^{a} \dfrac{(-1)^k F_b}{F_k F_{k+b}}$, и тождество бесконечного ряда, связывающее члены Фибоначчи с золотым сечением. Эти результаты подчёркивают сложную взаимосвязь теории чисел и комбинаторики, проливая свет на богатую структуру последовательностей, связанных с числами Фибоначчи.

Ключевые слова: плотность, Фибоначчи, слово, натуральный, последовательность, сбалансированный.

УДК: 517

MSC: Primary 68R15; Secondary 05C42, 11B05, 11R45, 11B39

Поступила в редакцию: 30.09.2025
Исправленный вариант: 10.11.2025
Принята в печать: 11.10.2025

Язык публикации: английский

DOI: 10.26117/2079-6641-2025-52-3-7-23