Аннотация:
В статье рассматривается задача с нелокальными граничными и интегральными условиями для нагруженного гиперболического уравнения четвертого порядка с импульсными воздействиями. Исследуемое уравнение можно интерпретировать как обобщенное уравнение Буссинеска-Лява, возникающее при моделировании поперечных колебаний коротких толстых стержней, а также при изучении волновых процессов в периодически слоистых средах. Рассматриваемое уравнение в общем случае имеет негладкие коэффициенты, принадлежащие пространству $L_p$. Решение поставленной задачи ищется в функциональном пространстве соболевского типа. Существенно используется представление элементов этого пространства. Элементы этого функционального пространства допускают разрывы первого рода вдоль линий, параллельных характеристическим кривым. Используя это представление, задача сводится к эквивалентному интегральному уравнению. Доказано, что для установления гомеоморфизма оператора, соответствующего поставленной задаче, между определенными парами банаховых пространств необходимо и достаточно, чтобы соответствующее интегральное уравнение имело единственное решение. Кроме того, установлены существование и единственность решения поставленной задачи. Далее строится соответствующее сопряженное интегральное уравнение, и с помощью априорной оценки доказывается существование и единственность его решения. Фундаментальное решение поставленной задачи определяется как частный случай сопряженного интегрального уравнения. На основе фундаментального решения получено интегральное представление решения поставленной задачи.
Ключевые слова:
гиперболическое уравнение, нелокальная задача, задачи с импульсными воздействиями, нагруженные уравнения.
Полный текст:
PDF файл (527 kB)