Аннотация:
В последнее время интенсивно изучаются начально-краевые задачи в прямоугольной области для дифференциальных уравнений в частных производных как четного, так и нечетного порядка. При этом в качестве объекта исследования берутся невырожденные уравнения или уравнения, вырождающиеся на одной стороне четырехугольника. Однако начально-краевые задачи (как локальные, так и нелокальные) для уравнений с двумя или тремя линиями вырождения остаются неисследованными. В данной работе в прямоугольной области рассматривается уравнение второго порядка, вырождающееся на двух сторонах прямоугольника и содержащее с дробной производной Капуто и интегрооператоры Римана-Лиувилля. Для этого уравнения формулируется и исследуется начально-краевая задача с нелокальными условиями, связывающими значения искомой функции и ее производных до третьего порядка (включительно), взятые на сторонах прямоугольника. С самого начала единственность решения сформулированной задачи доказывалась методом интегралов энергии. Затем исследована спектральная задача, возникающая при применении метода Фурье, основанного на разделении переменных, к рассматриваемой начально-краевой задаче. Построена функция Грина спектральной задачи, с помощью которой она эквивалентно сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром, что влечет существование счетного числа собственных значений и собственных функций спектральной задачи. Доказана теорема о разложении заданной функции в равномерно сходящийся ряд по системе собственных функций. Решение рассматриваемой задачи записывается в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Исследуется равномерная сходимость этого ряда и ряда, полученного из него почленным дифференцированием. Получена оценка решения задачи, из которой следует его непрерывная зависимость от заданных функций.
Ключевые слова:
начально-краевая задача, дробная производная Капуто, вырожденное дифференциальное уравнение, функции типа Миттаг-Леффлера двух переменных.
Полный текст:
PDF файл (1686 kB)