Аннотация:
В 1978 году в журнале «Дифференциальные уравнения» была опубликована статья А.М. Нахушева, где дана методика правильной постановки краевой задачи для класса уравнений параболо-гиперболического типа второго порядка в произвольной ограниченной области $\Omega$ с гладкой или кусочно-гладкой границей $\Sigma$. Исследованная в отмеченной работе краевая задача в настоящее время называется первой краевой задачей для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка. В рамках данной работы в смешанной области сформулирована и исследована первая краевая задача для модельного уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка в том смысле, в котором она сформулирована и исследована А.М. Нахушевым для уравнений второго порядка. В одной части смешанной области рассматриваемое уравнение совпадает с вырождающимся гиперболическим уравнением первого рода второго порядка, а в другой части является неоднородным уравнением третьего порядка с кратными характеристиками параболического типа. Для различных значений параметра $\lambda$, входящих в рассматриваемое уравнение, доказаны теоремы существования и единственности регулярного решения исследуемой задачи. Для доказательства теоремы единственности применяется метод интегралов энергии в совокупности с методом А.М. Нахушева. Для доказательства теоремы существования применяется метод интегральных уравнений. В терминах функции Миттаг- Леффлера решение задачи найдено и выписано в явном виде.
Ключевые слова:
уравнение смешанного параболо-гиперболического типа, вырождающееся гиперболическое уравнение первого рода, первая краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа, интегральные уравнения второго рода, задача и метод Трикоми, метод интегральных уравнений.
Полный текст:
PDF файл (473 kB)