Геометрия и топология

Quantum invariants of 3-manifolds arising from non-semisimple categories

[Квантовые инварианты трехмерных многообразий, возникающие из неполупростых категорий]

M. De Renzi<sup>abcde

a</sup> Pierre and Marie Curie University, Paris, France
^b Paris Diderot University, Paris, France
^c Institute of Mathematics of Jussieu (UMR 7586), Paris, France
^d Universit'e Sorbonne Paris Cit'e, Paris, France
^e French National Centre for Scientific Research, Paris, France

Аннотация: Эта обзорная статья охватывает некоторые из результатов, содержащихся в работах Костантино, Гир, Патуреау и Бланше. В первой работе авторы строят два семейства инвариантов типа Решетихина–Тураева для трехмерных многообразий, $N_r$ и $N_0^r$, используя для этого неполупростые категории представлений квантовой версии ${\mathfrak{sl}_2}$ в множество корней из единицы степени $2r$, $r \geq 2$. Второе семейство инвариантов ${\mathrm N}^0_r$ предположительно обобщает оригинальные квантовые ${\mathfrak{sl}_2}$ инварианты Решетихина–Тураева. Авторы также развивают технику для построения инвариантов, возникающих из более общих ленточных категорий, которые могут и не обладать свойством полупростоты. Во второй работе перенормированная версия инварианта ${\mathrm N}_r$ при $r \neq 0 \; (\mathrm{mod} \; 4)$ продолжается до TQFT, а также устанавливаются связи с классическими инвариантами, такими как полином Александера и кручение Рейдемейстера. В частности показано, что использование более богатых категорий имеет смысл, так как эти неполупростые инварианты более информативны, чем оригинальные полупростые инварианты: в самом деле, они могут быть использованы для классификации линзовых пространств, в то время как инварианты Решетихина–Тураева не всегда их различают.

Ключевые слова: $q$-биномиальная формула, тождество дилогарифма.

УДК: 515.163
ББК: B151.5

Язык публикации: английский