Математика

О начальпо-краевых задачах для вырождающихся уравнений типа С. Л. Соболева

Г. С. Акопян

Ереванский государственный университет

Аннотация: В работе изучается следующая начально-краевая задача для уравнения типа С. Л. Соболева:
$$\begin{cases} \dfrac{\partial}{\partial t}L(u(t, x))+ M(u(t, x))=0, x=(x_1,\dots,x_n)\in\Omega, t>0,\\ u|_{t=0}=u_0(x), \hfill{(*)}\\ u|_{\Gamma_1}= 0, \end{cases}$$
где $\Gamma_1\subset\Gamma=\partial\Omega$, $L$ и $M$ – дифференциальные операторы. Рассматриваются случаи, когда допускается, чтобы эллиптический оператор $L$ вырождался на части начальной гиперплоскости, а оператор $M$ – не всегда предполагается эллиптическим. Упомянутая задача была изучена путем построения соответствующего функционального пространства $H$ и установления эквивалентности этой задачи задаче Коши для операторного уравнения $\dfrac{\partial u}{\partial t}= -Au$. Доказывается, что если порядок вырождения оператора $M$ сильнее, чем порядок вырождения оператора $L (\alpha\gg\beta)$, то задача (*) имеет единственное решение для любого $u\in H$. При $\alpha<\beta$ предполагается, что $M$ – эллиптический оператор, тогда для любого $u_0\in D(\widehat{A})$ доказывается существование и единственность решения задачи (*).

УДК: 517.956

Поступила в редакцию: 14.06.1985
Принята в печать: 27.12.1985