Математика

Разложение по некоторым системам рациональных функций

А. А. Китбалян

Ереванский государственный университет

Аннотация: Пусть $\{ \alpha_k\}_t^\infty$ – произвольная последовательность комплексных чисел, лежащих в единичном круге: $|\alpha_k|<1 (k\in N)$. Рассматривается система рациональных функций с полюсами в точках $z=\alpha_k$ и $z=1/\sqrt{\alpha_k} (k\in N)$:
$$P_n(z)=\dfrac{z^2}{(1-z)^4}[\pi_n(z)+\pi_n^{-1}(z)-2]^2,$$
где $\pi_n(z)=\prod\limits_{k=1}^n\dfrac{z-\alpha_k}{1-\overline{\alpha_k}z}\cdot\dfrac{1-\overline{\alpha_k}}{1-\alpha_k} (n\in N).$ Доказывается следующая теорема. Если расходится ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty (1-|\alpha_n|),$ то для любой функции $f(z)$, непрерывной на единичной окружности, последовательность рациональных функций $f_n(z)$ сходится к $f(z)$ равномерно на единичной окружности.

УДК: 517.53

Поступила в редакцию: 18.09.1984
Принята в печать: 20.12.1985