Об условиях полноты системы корневых функций дифференциального оператора на отрезке с интегральными условиями
Х. К. Ишкинa,
Б. Е. Кангужинb a Уфимский университет науки и технологий, ул. Заки Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия
b Казахский национальный университет им. аль-Фараби, пр. аль-Фараби 71, A15E3B4, г. Алматы, Казахстан
Аннотация:
В работе исследованы условия полноты системы корневых функций (СКФ) оператора
$L_U$, порожденного в пространстве
$H=L_2(0,1)$ дифференциальным выражением
$$l(y)=-y''+qy (q\in L_1(0,1))$$
и интегральными условиями
$$y^{(j-1)}(0)+(l(y),u_j)=0 (u_j\in L_2(0,1),\ j=1,2).$$
Показано, что СКФ оператора
$L_U$ полна в его области определения, если существуют два луча на верхней полуплоскости, таких, что при всех больших
$\lambda$ из этих лучей характеристический определитель ограничен снизу функцией
$\lambda^{m}e^{-|\mathrm{Im} \lambda|}$,
$m\geq\frac{1}{2}$. Если оператор
$L_U$ плотно определен, то для полноты СКФ в
$H$ достаточно выполнения указанной оценки c любым
$m\in \mathbb{R}$. Кроме того, получено интегральное представление для характеристического определителя в виде синус–преобразования некоторой функции
$A$, которая выражается через
$u_1$,
$u_2$ и ядро оператора преобразования для уравнения
$l(y)=\lambda^2y$. Используя указанное представление, найдены явные (в терминах функций
$u_1$,
$u_2$) условия полноты СКФ оператора
$L_U$ в
$H$ или
$D(L_U)$.
Ключевые слова:
дифференциальный оператор с интегральными краевыми условиями, полнота, спектр, асимптотика.
УДК:
517.984 +
517.928
MSC: 34L10,
47B28 Поступила в редакцию: 21.08.2025
Полный текст:
PDF файл (544 kB)
