Однопараметрические семейства конформных отображений неограниченных двусвязных многоугольных областей
А. Ю. Дютин,
С. Р. Насыров Казанский (Приволжский) федеральный университет, ул. Кремлевская, 35, 450008, г. Казань, Россия
Аннотация:
Мы предлагаем приближённый метод нахождения конформного отображения концентрического кольца на произвольную неограниченную двусвязную многоугольную область. Этот метод основан на идеях, связанных с параметрическим методом Лёвнера — Комацу. Мы рассматриваем гладкие однопараметрические семейства конформных отображений
$\mathcal{F}(z,t)$ концентрических колец на двусвязные многоугольные области
$\mathcal{D}(t)$, которые получаются из фиксированной неограниченной двусвязной многоугольной области
$\mathcal{D}$ проведением конечного числа прямолинейных или, в общем случае, полигональных разрезов переменной длины; при этом мы не требуем монотонности семейства областей
$\mathcal{D}(t)$. В интегральное представление для конформных отображений
$\mathcal{F}(z,t)$ входят неизвестные (акцессорные) параметры. Мы находим дифференциальное уравнение в частных производных, которому удовлетворяют такие семейства конформных отображений, и выводим из него систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику акцессорных параметров при изменении параметра
$t$ и динамику конформного модуля данной двусвязной области в зависимости от параметра
$t$. Отметим, что в правые части полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений входят функции, которые являются скоростями движения концевых точек разрезов. Это позволяет полностью контролировать динамику разрезов, в частности, добиваться их согласованного изменения в случае, если в области
$\mathcal{D}$ проводится более одного разреза. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие эффективность предложенного метода. Отметим, что предложенный в этой работе параметрический метод уже рассматривался нами для случая ограниченных двусвязных многоугольных областей.
Ключевые слова:
неограниченные двусвязные области, полигональные области, конформные модули, конформные отображения, формула Кристоффеля — Шварца, акцессорные параметры, однопараметрические семейства функций, параметрический метод, эллиптические функции, эллиптические интегралы, уравнение Лёвнера — Комацу.
УДК:
517.54
MSC: 30C30 Поступила в редакцию: 10.09.2024
Полный текст:
PDF файл (4849 kB)
