Локальные динамические энтропии и их приложения к теории чисел

М. Л. Бланк<sup>ab

a</sup> Высшая школа современной математики, Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Долгопрудный, Россия
^b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия

Аннотация: Введенное Я. Г. Синаем и А. Н. Колмогоровым понятие энтропии динамической системы описывает степень хаотичности/сложности ее траекторий. Построение энтропийной теории динамических систем является важнейшим шагом в исследовании их эргодических свойств, однако это в некотором смысле усредненная характеризация. Дело в том, что сложность/хаотичность отдельных траекторий варьируется чрезвычайно сильно: от тривиального поведения в случае периодических траекторий до чрезвычайно сложного поведения для “типичных” траекторий одних и тех же хаотических систем. Предлагается новый подход к построению локальных динамических энтропий, характеризующих сложность индивидуальных траекторий, что позволяет ликвидировать указанный пробел. Более того, этот подход оказывается применимым не только к траекториям, но и к произвольным последовательностям. В частности, мы применяем его для оценки сложности различных теоретико-числовых конструкций (простых чисел, квадратичных вычетов и т.п.).

Ключевые слова: эргодическая теория, энтропия Шеннона, метрическая энтропия, топологическая энтропия, сложность, случайность, простые числа, квадратичные вычеты.

Поступила в редакцию: 08.03.2025

DOI: 10.4213/tvp5801