Inverse and direct spectral problems for a class of lattice Hamiltonians

V. A. Chulaevsky^a, Yu. M. Suhov<sup>bc

a</sup> Université de Reims Champagne-Ardenne, Département de Mathématiques, Reims, France
^b Department of Mathematics, Penn State University, University Park, State College, PA, USA
^c DPMMS, University of Cambridge, Cambridge, UK

Аннотация: Рассматривается разрешимость обратной и прямой спектральных задач для одного класса предельно-периодических операторов на решетке $\mathbb{Z}^d$ для любого $d\ge 1$, обобщающих решеточный оператор Шрёдингера $H = \Delta + U$ в $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ с внешним потенциалом $U$. Данная проблематика интенсивно изучалась в 1980-х годах, когда было установлено, что решения существуют в предположении субэкспоненциальной скорости убывания так называемых малых знаменателей. Это предположение в дальнейшем фигурировало в ряде математических работ. Мы показываем, что оно может быть заменено на более слабое условие экспоненциального убывания малых знаменателей для любого, сколь угодно большого положительного показателя убывания. Как и во многих предшествующих работах, мы доказываем, что допустимые предельно-периодические операторы имеют собственный базис, образованный экспоненциально убывающими функциями на решетке, что дает равномерную экспоненциальную андерсоновскую локализацию. Для этого мы улучшаем существующую технику и в определенной степени упрощаем ее, что делает доказательства более прозрачными. Некоторые примеры операторов обсуждаются в явной форме.

Ключевые слова: гамильтонианы на решетке, андерсоновская локализация, обратная и прямая спектральные задачи, теория Колмогорова–Арнольда–Мозера (КАМ-теория), метод Ньютона–Рафсона, отталкивающие функции.

Поступила в редакцию: 07.03.2025
Принята в печать: 09.03.2025

Язык публикации: английский

DOI: 10.4213/tvp5800