Краткие сообщения

О слабой сходимости моментов суммы независимых одинаково распределенных случайных величин

Л. В. Розовский

Санкт-Петербургский государственный химико-фармацевтический университет, Санкт-Петербург, Россия

Аннотация: В работе исследуется поведение “моментов”
$$ \chi_n(\varepsilon) = \mathbf{E} g(|S_n|)\,\frac{\mathbf{I}[|S_n|\ge\varepsilon a_n]}{g(a_n)},\qquad \varepsilon>0, $$
где $S_n$ — сумма $n$ независимых копий некоторой случайной величины, последовательность $\{ a_n, \, n\ge 1\}$ монотонно растет к бесконечности, положительная функция $g(y)$ удовлетворяет условиям $g(y)\nearrow$, $g(u)/u^\gamma\searrow\,$, $y>y_0$ $(\exists\, \gamma>0)$. В частности, доказано следующее утверждение: для того чтобы $\chi_n(\varepsilon) = o(1)$ $(\forall\, \varepsilon>0)$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
\begin{gather*} n\,\mathbf{E} X\,\frac{\mathbf I[|X|<a_n]}{a_n}\to 0, \quad n\,\mathbf{E} X^2\,\frac{\mathbf I[|X|<a_n]}{a^2_n} \to 0, \\ n\, \mathbf{E} g(|X|)\,\frac{\mathbf I[|X|\ge a_n]}{g(a_n)} = o(1). \end{gather*}


Ключевые слова: слабая сходимость, слабая сходимость моментов.

Поступила в редакцию: 03.08.2024

DOI: 10.4213/tvp5744

 Англоязычная версия: Theory of Probability and its Applications, 2025, 70:3, 425–431

Реферативные базы данных:

•