Affine diminishing urns
Sh. Gao,
H. Mahmoud Department of Statistics, The George Washington University, Washington, DC, USA
Аннотация:
Рассматривается широкий класс аффинных регулярных урн с шарами белого и синего цветов, число которых уменьшается последовательными извлечениями совокупностей шаров. Изучается состав урны после различных чисел извлечений. Предполагается, что в начальный момент урна содержит
$n$ шаров, число белых шаров равно
$\alpha n+g(n)$, где
$\alpha\in[0,1]$ и
$g(n)=o(n)$. Описан главный фазовый переход при увеличении роста числа
$j$ извлечений от сублинейного
$j=o(n)$ до линейного
$j=\theta n+h(n)$. Для обеих фаз доказаны центральные предельные теоремы, но нормировки в разных фазах существенно различаются. Соотношения между коэффициентами
$\theta$,
$\alpha$ и возмущающими функциями
$g(n)$ и
$h(n)$ порождают ряд ограничений и условий на параметры асимптотической нормальности. Доказательства используют рекуррентные соотношения, мартингалы и асимптотический анализ. Обсуждаются два примера применений этого класса урн. Один — обобщенная модель сражения, другой — динамика глубины рынка акций.
Ключевые слова:
урновые модели, случайные структуры, мартингалы, фазовые переходы, центральная предельная теорема.
Поступила в редакцию: 11.08.2021
Исправленный вариант: 12.01.2023
Принята в печать: 31.10.2023
DOI:
10.4213/tvp5526
Полный текст:
PDF файл (596 kB)