Эта публикация цитируется в 61 статьях

Stopping Brownian motion without anticipation as close as possible to its ultimate maximum

S. E. Graversen^a, G. Peskir^a, A. N. Shiryaev<sup>b

a</sup> Institute of Mathematics, University of Aarhus, Denmark
^b Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences

Аннотация: Пусть $B=(B_t)_{0\le t\le1}$ – стандартное броуновское движение, выходящее из нуля, и пусть $S_t=\max_{0\le r\le t}B_r$ для $0\le t\le 1$. Рассмотрим задачу оптимальной остановки
$$ V_*=\inf_\tau{\mathsf E}(B_\tau-S_1)^2, $$
где инфимум берется по всем моментам остановки (относительно $B$) таким, что $0\le\tau\le1$. Мы показываем, что этот инфимум достигается на моменте остановки $\tau_*=\inf\{0\le t\le 1\mid S_t-B_t\ge z_*\sqrt{1-t}\}$, где $z_*=1.12\dots$ – единственный корень уравнения $4\Phi(z_*)-2z_*\varphi(z_*)-3=0$ с $\varphi(x)=(1/\sqrt{2\pi})e^{-x^2/2}$ и $\Phi(x)=\int_{-\infty}^x\varphi(y)\,dy$. Величина $V_*$ равна $2\Phi(x_*)-1$. Метод доказательства основан на представлении $S_i$ в виде стохастического интеграла, случайной замене времени и решении задачи Стефана со свободной границей.

Ключевые слова: марковский процесс, диффузия, броуновское движение, оптимальная остановка, глобальный максимум, задача Стефана со свободной границей, теорема Ито–Кларка.

Поступила в редакцию: 21.10.1999

Язык публикации: английский

DOI: 10.4213/tvp327

 Англоязычная версия: Theory of Probability and its Applications, 2001, 45:1, 41–50

Реферативные базы данных:

• 
• 
•