Об асимптотике собственных значений дифференциального оператора четного порядка с разрывной весовой функцией

С. И. Митрохин

Научно-исследовательский вычислительный центр Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, г. Москва, РФ

Аннотация: Исследуется дифференциальный оператор высокого порядка с разрывными коэффициентами. Потенциал оператора предполагается кусочно-гладкой функцией на конечном отрезке задания оператора, весовая функция является кусочно-постоянной. В точке разрыва весовой функции требуется выполнение условий «сопряжения». Изучаются разделённые граничные условия общего вида. Изучена асимптотика фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений, задающих исследуемый оператор. С помощью этой асимптотики изучены условия «сопряжения» исследуемого дифференциального оператора. Затем исследованы граничные условия изучаемого оператора. Изучены спектральные свойства дифференциального оператора, который на практике возникает при изучении колебаний балок, мостов и мембран, составленных из материалов различной плотности. Выведено уравнение на собственные значения оператора, которое представляет собой целую функцию, для нахождения корней которого изучена индикаторная диаграмма. Доказано, что индикаторная диаграмма является правильным многоугольником. В различных секторах индикаторной диаграммы найдена асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора. В случае предельных переходов полученная формула приводит к формуле для классического оператора с гладким потенциалом и постоянной весовой функцией. С помощью найденных формул можно вычислить первый регуляризованный след изучаемого оператора.

Ключевые слова: нелинейный кольцевой резонатор, пространственное преобразование, фазовая модуляция.

УДК: 517.47

MSC: 00000