Существование центрального многообразия для начально-краевой задачи с преобразованием переменных

А. А. Корнута

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского, Физико-технический иститут, просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

Аннотация: В теории бифуркаций центральные многообразия являются фундаментальными для изучения динамических систем в окрестности точек равновесия, находящихся вблизи «критических ситуаций». Теорема о центральном многообразии сводит изучение малых решений бесконечномерной задачи вида содержащей линейную и нелинейную части, находящихся достаточно близко к тривиальному решению, к изучению малых решений приведенной системы с конечной размерностью. Решения на центральном многообразии описываются конечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, называемой приведенной системой.
В работе рассматривается начально-краевая задача на окружности для параболического функционально-дифференциального уравнения с преобразованием поворота пространственной переменной и условием периодичности. Ранее автором, используя центральное многообразие в окрестности пространственно-однородного стационарного решения, получены асимптотические представления пространственно-неоднородных решений и решений типа бегущей волны в начально-краевой задаче с краевым условием Неймана на кольце с преобразованием поворота и радиального сжатия, в задаче на круге с преобразование поворота. В задаче на окружности с преобразованием поворота и условие периодичности на границе получено представление для пространственно-неоднородного стационарного решения.
В данной работе приводится доказательство существования центрального многообразия. Использована схема, предложенная в работе Haragus M. и Iooss G. «Local Bifurcations, Center Manifolds, and Normal Forms in Infinite-Dimensional Dynamical Systems», в основе которой лежит доказательство некоторых вспомогательных утверждений и получение оценок резольвенты оператора $L$.
Рассматриваются доказательства условий, необходимых для выполнения теоремы о центральном многообразии, соответствующей случаю, когда неустойчивая часть спектра оператора $L$, отвечающая собственным значениям с положительной действительной частью, пуста. Также получены оценки резольвенты оператора $L$. Ключевым является утверждение о конечности части спектра оператора $L$, соответствующего собственным значения с нулевой действительной частью (центрального спектра).

Ключевые слова: динамическая система, начально-краевая задача, центральное многообразие, центральный спектр, неустойчивый и устойчивый спектр

УДК: 517.95

MSC: 35K10, 35K55, 35R10